论公司负债的定价:利率的风险结构模型

本文翻译自Black, F., & Scholes, M. (1973) 的主要内容
《论公司负债的定价:利率的风险结构模型》

I. 引言

对公司债券的定价依赖于三个项目:
(1)无风险(考虑违约)负债的必要收益率(例如,政府债券或高等级的企业债)。
(2)契约中规定的一系列条款(provisions)和限制(如到期日,息票率,赎回条款,违约条款,沉没资金等等)。
(3)企业不能满足某些或全部条款的可能性(例如:违约的可能性)。
虽然有很多理论和实证研究就利率结构展开讨论,但是还没有一个系统性的理论推演,来解释在有违约概率条件下的债券定价问题。本文就是为了呈现这一理论,该理论可以称之为利率的风险结构。术语“风险”在这里仅限于债券持有人可能的获得和损失,仅随违约可能性(不可预料的)改变。这里的风险不包括由于利率(不可预料)变化而带来的内在的收获或损失。总览大部分分析,结构一词已被先前假定,债券价格差异仅由违约可能性决定。
在另一篇开创性的文章中,Black和Scholes呈现了期权定价的完整的一般均衡理论[1]。它吸引人的地方在于其最终的公式是一个可观测变量的方程。因此,模型可以用于直接的实践检验,而同时他们也取得了巨大的成功。Merton对Black-Scholes模型做出了严格证明和推广。然而期权是一种十分特殊且相对不那么重要的金融工具,B-S-M三人都认为这一模型应该被应用于开发公司负债的定价理论。
本文第二部分,是依据B-S两人的路线开发金融工具的定价基本方程。第三部分,模型被用于公司负债的最简单形式,模型中,我们采用无息的纯贴现债券。我们给出了计算利率风险结构的公式。在第四部分,我们运用比较静态图表来分析风险结构,并且回答了债券的溢价是否完全解释了债券的风险。在第五部分,我们证明了知名的Modigliani-Miller(MM)定理中破产存在的有效性。并且,我们推导了负债必要与回报率负债-所有者权益比的函数关系,在第六部分,我们将分析推广到了贴息债券和可赎回债券。

II. 企业负债的定价

为了开发B-S型定价模型,我们做出了如下假定:
A.1 不存在交易费用、交易税或其他资产不可分性问题
A.2 市场上有足够多的投资者,且他们有可以比较的财富水平。而每个投资者相信自己可以购买或卖出希望的资产数量。
A.3 市场上提供借贷双方交易的场所,并提供相同的利率。
A.4 允许卖方充分利用资产收益优化来进行的卖空(short-sale)。
A.5 资产交易连续不断发生。
A.6 根据MM定理,公司价值不随资产结构变化。
A.7 结构一词是明确定义的。例如一个无风险纯贴现债券,承诺到$\tau$期支付一美元,则其价格为$P(\tau)=e^{-r\tau}$,其中$\tau$是连续无风险利率,这点对所有时间都适用。
A.8 公司价值的动态进程,可以表示成一个随机微分方程,它的解扩散方程形式的随机过程。
$$
dV=(\alpha V – C)dt+\sigma Vdz
$$
其中,
$\alpha$表示单位时间里的瞬时的企业期望回报率。
$C$表示每单位时间里企业对股东和债主的现金回报,例如,红利和利息支付。如果为正,说明是红利或利息支付,而如果为正,说明其表示企业新融资得到的净现金。
$\sigma ^{2}$表示单位时间企业回报的波动率。
$dz$是一个标准的高斯维纳过程。
许多诸如此类的假定对于建模不是必要的,不过选择他们是为了解释方便。特别的完美市场假定(A.1 -A.4)一定程度上可以放松。A.6是为了部分分析的证明,A.7是为了清晰分辨结构风险和价格的结构效应。A.5和A.8是具有争议的假定,事实上,A.5要求市场为了这些证券而需要在大部分时间开放并交易。A.8需要价格进程连续,而(非预期)回报是连续且独立的,即遵从Fama[3]和Samuelson[9]的有效市场假定EMH。
假定一个有价证券的市场价值为Y,任何时间点上其价格可以由一个公司价值的方程表示,例如$Y=F(V,t)$。我们能将其市场价值写成一个随机微分方程,如下所示:
$$
dY=\left[\alpha{y}Y-C{y}\right]dt+\sigma{y}Ydz{y},(1)
$$
其中,
$\alpha$是表示有价证券每单位时间的瞬时预期回报;
$C{y}$表示有价证券每单位时间的现金红利;
$\sigma{y}^{2}$表示回报的波动率;
$dz{y}$表示标准高斯维纳过程。
然而,根据A.8和$It\hat{o}$引理,给定$Y=F(V,t)$,对于$\alpha{y}$,$\sigma{y}$和$dz{y}$和相应变量有如下函数关系:
$$
dY=F{v}dY+\frac{1}{2}F{vv},(dV)^{2}+F{t}=\left[\frac{1}{2}\sigma^{2}V^{2}F{vv}+(\alpha V-C)F{v}+F{t}\right]dt+\sigma VF{v}dz,(2)
$$
其中,下标表示衍生函数的偏导数。联立(1),(2)两式,我们得到:
$$
\alpha{y}Y=\alpha{y}F\equiv\frac{1}{2}\sigma^{2}V^{2}F{vv}+(\alpha V -C)F{v}+F{t}+C{y},(3.a)
$$
$$
\sigma{y}Y=\sigma{y}F\equiv VF{v},(3.b)
$$
$$
dz{y}\equiv dz,(3.c)
$$
注意,根据(3.c),Y和V的瞬时回报为完全相关。
根据Merton对Black-Scholes模型的派生,我们考虑建立一个三资产的“投资组合”。其中包含企业、特定资产和无风险债券,我们使这个组合总投资为零。这一组合得益于使用卖空和借款来为多头(long positions)筹资。我们令$W{1}$为投资组合投资于企业的资金规模,$W{2}$为投资于证券的,$W{3}(\equiv – \left[W{1}+W{2}\right])$为投资于无风险债券的金额。如果$dx$表示投资组合的瞬时现金回报,那么:
$$
dx=W{1}\frac{(dV+Cdt)}{V}+W{2}\frac{(dY+C{y}dt)}{Y}+W{3}rdt
=\left[W{1}(\alpha-r)+W{2}(\alpha{y}-r)\right]dt+W{1}\sigma dz +W{2}\sigma{y}dz{y}
=\left[W{1}(\alpha-r)+W{2}(\alpha{y}-r)\right]dt+\left[W{1}\sigma+W{2}\sigma{y}\right]dz,from(3.c),(4)
$$
假定投资组合策略$W{j}=W{j}^{}$表示$dz$的系数始终为零。然后,投资组合的回报,$dx^{}$将是非随机的。由于投资组合要求投资净值为零,则需要避免套利利润,即资产组合的策略回报率期望为零,也就是说:
$$
W{1}\sigma+W{2}\sigma{y}=0(no risk)(5.a)
$$
$$
W{1}(\alpha-r)+W{2}(\alpha{y}-r)=0(no arbitrage(5.b))
$$
当且仅当下式成立时,(5)式有非平凡解(非零解):
$$
(\frac{\alpha-r}{\sigma})=(\frac{\alpha{y}-r}{\sigma{y}}),(6)
$$
但是,根据(3a)和(3b),我们替换掉$\alpha{y}$和$\sigma{y}$,重写如下:
$$
(\frac{\alpha-r}{\sigma})=(\frac{1}{2}\sigma^{2}V^{2}F{vv}+(\alpha V-C)F{v}+F{t}+C{y}-fF)/\sigma VF{v},(6′)
$$
并且,通过合并同类项化简,我们得到:
$$
0=\frac{1}{2}\sigma^{2}V^{2}F{vv}+(rV-C)F{v}-rF+F{t}+C{y},(7)
$$
等式(7)是一个抛物线形偏微分方程,我们必须保证证券价格可以蓓表示为公司价值和时间的函数。当然,关于偏微分方程需要更完整的解释,两个边界条件和一个初始条件。很明显,这些边界条件需要澄清证券的特征(如,负债和所有者权益的区别)。在本章末尾,我们还要注意,(7)式中出现的变量和参数,它们是证券价格的影响因素。除了公司的价值和时间,证券价格还依赖于利率,公司价值的波动率和证券持有的承诺回报(分红)。然而,证券价格F与公司期望回报率、投资者风险偏好和其他可获得资产的特征无关等。因此两个投资者有不同的效用函数,不同的公司未来回报率预期,但是承认同样的公司价值波动率,给定相同的利率和当前公司价值,对该证券的估值就是相同的F。
同时,由于所有参数和变量(除了波动率)都是可以直接观测的,而波动率可以通过时间序列估计得到。

III. 有风险的纯贴现债券估值

正如上一部分应用的公式,我们现在考察最简单的公司负债的定价。
假定公司有两种要求权:
(1)一个单独的,同质的负债种类;
(2)剩余要求权,所有者权益。
假定债券合同包含一下附加条件和限制条款:
(1)公司承诺到T期支付为数B的现金给债券持有者;
(2)如果这项支付无法履行,债券持有者可以立刻接管这家公司(并且股东无法获取任何资产补偿);
(3)公司不能发起一个新的要求权,不能支付现金红利,也不能分享到期负债的回购优先权。
如果F为债券价值,我们可以将(7)改写为
$$
\frac{1}{2}\sigma^{2}V^{2}F{vv}+rVF{v}-rF-F{\tau}=0,(8)
$$
其中,$C{y}=0$是因为没有票面利息支付;而$C=0$是由于限制条件(3);
$\tau\equiv T-t$是截止到期前时间,因此有$F{t}=-F{\tau}$。为了求解(8)式,必须给出两个边界条件和一个初始条件。这些边界条件是从契约条款和负债限制中衍生而来。根据定义,$V\equiv F(V,\tau)+f(V,\tau)$,其中f是表示所有者权益的价值。由于F和f都只能取非负值,于是我们有:
$$
F(0,\tau)=f(0,\tau)=0,(9.a)
$$
另外,由于$F(V,\tau)\leq V$,于是又如下条件:
$$
F(v,\tau)/F\leq 1, (9.b)
$$
这一条件也可以由半无限边界替代,即$0\leq V\leq \infty$。初始条件可由契约条款(1)和(2)得到,事实上,管理层是由股东选拔,代表了股东权益。在到期日T时,企业必须支付约定数额B给债主,否则当前股权就会完全损失。很明显,如果在T时期,有$V(T)>B$则公司会支付约定的数额。相反,若T时$V(T)\leq B$,则公司将不会偿还数额而选择违约,因为不违约则股东需要支付超过需要支付超出公司价值额外的部分。因此初始条件就是当$\tau =0$时,有:
$$
F(V,0)=min\left[V,B\right],(9.c)
$$
结合边界条件(9),我们就可以通过傅里叶变化或变分法,直接求解(8)式。然而,我们仅考察问题而避免了这一计算,我们发现它与别的文献已经求解的问题相一致。
为了确定所有者权益的价值,$f(V,\tau)$,我们记$f(V,\tau)=V-F(V,\tau)$,并且用其在(8)、(9)中替换了F,从而得到f的偏微分方程:
$$
\frac{1}{2}\sigma^{2}V^{2}f{vv}+rVf{v}-rf-f{\tau},(10)
$$
受限于:
$$
f(V,0)=Max\left[0,V-B\right],(11)
$$
同时还受限于边界条件(9)。考察B-S方程或Merton方程,(10)和(11)等价于不支付红利的欧式看涨期权的公式。而其中,企业价值V对应于股票价格S,而支付金额B对应于执行价格X。价格关系的同构性不仅让我们能直接写出其解析表达式,而且允许我们立刻使用比较静态分析来分析股权结果。假设B-S方程中$\sigma^{2}$为常数,我们有:
$$
f(V,\tau)=V\Phi(x{1})-Be^{-r\tau}\Phi(x{2}),(12)
$$
其中
$$
\Phi(x)\equiv\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int{-\infty}^{x}e^{-\frac{1}2z^{2}}dz
$$
并且
$$
x{1}\equiv\left{log\frac{V}{B}+(r+\frac{1}{2}\sigma^{2})\tau\right}/\sigma\sqrt{\tau}
$$
$$
x{2}\equiv x{1}-\sigma\sqrt{\tau}
$$
根据(12)式和$F=V-f$,我们可以得到负债的定价如下:
$$
F\left[V,\tau\right]=Be^{-r\tau}\left{\Phi\left[h{2}(d,\sigma^{2}\tau)\right]+\frac{1}{d}\Phi\left[h{1}(d,\sigma^{2}\tau)\right]\right},(13)
$$
其中
$$
d\equiv Be^{-r\tau}/V
$$
$$
h{1}(d,\sigma^{2}\tau)\equiv-\left[\frac{1}{2}\sigma^{2}\tau-log(d)\right]/\sigma\sqrt{\tau}
$$
$$
h{2}(d,\sigma^{2}\tau)\equiv-\left[\frac{1}{2}\sigma^{2}\tau+log(d)\right]/\sigma\sqrt{\tau}
$$
由于通常债券定价讨论的是收益率而非价格的数值,因此我们可以将(13)式复写成下式:
$$
R(\tau)-r=\frac{-1}{\tau}log\left{\Phi\left[h{2}(d,\sigma^{2}\tau)\right]+\frac{1}{d}\Phi\left[h{1}(d,\sigma^{2}\tau)\right]\right},(14)
$$
其中
$$
e^{-R(\tau)\tau}\equiv F(V,\tau)/B
$$
并且,$R(\tau)$为公司不违约时风险债券的到期收益率。同时$R(\tau)-r$表示风险溢价,而(14)式给出了利率的风险结构。
对于给定到期日的债券,风险溢价仅是两个变量的函数:(1)企业表现的波动率$\sigma$,(2)现值的比例$d$。由于d是负债和公司的价值比,负债是用无风险利率贴现的,其与实际市场价值-公司价值比存在偏差。
*

点赞
  1. StepNed说道:

    Viagra Samples From The Us levitra vs viagra Buy Isotretinoin Us Free Shipping

  2. StepNed说道:

    5142.1 Viagra Decouverte Generic Viagra Shipped To Po Box cialis 5 mg Viagra Danger Uricon With Out Precritpion For Dogs

  3. StepNed说道:

    Acquisto Levitra Su Internet buy liquid accutane Types Of Amoxicillin 500mg Capsules [url=http://rxbill6.com]levitra and cialis online[/url] Propecia Where To Order

发表评论